Analisis de uan situacion problematica

Ejemplo 1
Los números positivos x, y y z satisfacen

Encuentre el valor de xy + 2yz + 3zx.
Lo que la mayoría de los estudiantes harían para resolver este problema es tratar de despejar los valores de x, y y z de las ecuaciones del sistema y sustituirla en la expresión xy + 2yz + 3zx, pero esto no ayuda mucho. Se le suplica al lector que intente este camino para que se confirme nuestra afirmación.
Sin embargo, si tratamos de pensar en algún problema parecido o en algún resultado ya conocido, notaremos que los valores de los lados derechos de las ecuaciones del sistema forman un triple pitagórico, es decir que 25 = 9 + 16. Por lo tanto nuestro problema tiene que ver con el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
Si usamos la siguiente figura
el sistema original adquiere la siguiente forma:

Asumiendo que (ABC) representa el área del triángulo ABC, obtenemos que
(ABM) + (ACM) + (BCM) = (ABC).
Por otra parte, se puede observar que
(ABM)
=
xzsen 120o = xz

(ACM)
=
xsen 150o = xy

(BCM)
=
z = yz

(ABC)
=
. 3 . 4 = 6.

De esto se puede concluir que
xz + xy + yz
=
6

(xy + 2yz + 3xz)
=
6

Por lo tanto,
xy + 2yz + 3zx = 24.
Problema 2
Sean a, b, c, d números reales en el intervalo [- /2,/2], tales que
sen a + sen b + sen c + sen d = 1.
cos2a + cos2b + cos2c + cos2d 10/3. Demuestre que a, b, c, d [0,/6].
Hagamos el siguiente cambio de variables
x = sen a, y = sen b, z = sen c, w = sen d.
De la muy conocida fórmula cos2a = 1 - 2 sen 2a, se sigue que cos2a = 1 - 2x2. De la misma forma se obtienen expresiones similares para los otros términos. Sustituyendo en el sistema original, obtenemos que
x + y + z + w = 1.
x2 + y2 + z2 + w2 1/3, donde x, y, z, w [- 1, 1].
Lo que se debe mostrar es que x, y, z, w [0, 1/2].
Por el momento supondremos que ya hemos demostrado que nuestros números son no negativos, entonces restaría ver que ellos son menores que 1/2. En efecto, si hacemos los cambios de variables siguientes
x1
=
1/2 - x

y1
=
1/2 - y

z1
=
1/2 - z

w1
=
1/2 - w,

obtendremos, después de un corto cálculo, que
x1 + y1 + z1 + w1 = 1.
x12 + y12 + z12 + w12 1/3, Por lo tanto, se concluye que x1 0 y de esto que x 1/2. De igual forma obtenemos que y 1/2, z 1/2 y w 1/2.
Problema 3
Suponga que n es un número positivo impar. Suponga que escribimos sobre la pizarra los números 1, 2, 3,..., 2n. Elijamos dos números de esa lista, por ejemplo a y b, y borremóslos, luego sustituya los números por a - b. Pruebe que al final obtendremos un número impar.
Este es uno de esos problemas que se resuelven por medio de la llamada ``invariancia", es decir que para resolverlo debemos buscar una propiedad que se mantenga invariante a lo largo del proceso que estamos haciendo.
Supongamos que S es la suma de todos los números que están sobre la pizarra. Inicialmente se tiene que
S = 1 + 2 + 3 + ... + 2n = = n(2n + 1).
Observe que S es un número impar y además que en cada etapa S se reduce en la cantidad
a + b - a - b = 2 . ,
el cual es un número par. De esto se sigue que la paridad de S es un invariante, es decir que S se mantiene siempre impar en cada etapa. Por lo tanto el último número que obtendremos será impar.
Queremos terminar expresando que esperamos que este trabajo ayude a obtener una pista de cómo se puede hacer para reolver y plantear problemas matemáticos, muchos de ellos llenos de una belleza genuina. Muchas veces tal belleza es obviada por la mayoría de los estudiantes, ya que como dijo el gran escritor argentino Ernesto Sábato: ``Recobrar la capacidad de asombro"